Sumário
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Artigo – Aritmética Modular
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Soluções de Olimpíadas – OPEMAT – 2017/Nível 3
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Curiosidades – OEIS
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Indicações de Leituras/Filmes – O Homem que Viu o Infinto
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Eventos
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Problemas
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Soluções dos Problemas
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Introdução do artigo
Os conjuntos numéricos foram, por muitos milênios, considerados como entidades puramente intuitivas. Suas operações e propriedades básicas eram
atribuídas à sua própria natureza, dessa forma não eram passíveis de demonstração.
Com a criação do cálculo diferencial, a fim de resolver novos problemas, se fez necessário uma fundamentação mais rigorosa para o conceito de número. Foi devido a Karl Weierstrass (1815 – 1897) a primeira construção dos números inteiros negativos e racionais tomando por base os números naturais. Apesar da descoberta dos números irracionais datem desde a Grécia antiga, de forma independente, Georg Cantor (1845 – 1918) e Richard Dedekind (1831 – 1916) conseguiram construir tais números a partir dos números racionais.
Os números naturais resistiram por mais alguns anos à tentativa de sua formalização. Tanto que o matemático alemão Leopold Kronecker (1823 – 1891) tornou célebre a seguinte frase: “Deus criou os inteiros, o resto é obra do homem”. Após alguns anos Dedekind publicou em seus trabalhos, através de teoria de conjuntos, um modelo para os números naturais definindo operações e demonstrando propriedades básicas. Entretanto, a construção dos naturais mais popular foi devida a Giuseppe Peano (1858 – 1932), nela o mesmo descreve tal conjunto sobre a premissa de quatro axiomas.
Neste artigo não faremos tais construções, nos concentraremos apenas no conjunto dos números inteiros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } no que diz respeito a divisibilidade com intuito de resolver problemas bastante interessantes do ponto de vista da aritmética modular. Um instrumento que da ênfase ao resto da divisão euclideana e que foi introduzido primeiramente por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).