É Matemática, Oxente! Número 2

Sumário

1. 1. 1. Artigo – E as funções sobrejetivas?

      2. Soluções de Olimpíadas – OPEMAT – 2016/Nível 2

      3. Curiosidades – O Site SageMathCloud

      4. Indicações de Leituras/Filmes – O Último Teorema de Fermat

      5. Eventos

      6. Problemas

Introdução do artigo

Não é raro encontrarmos nos textos escolares que tratam de análise combinatória, o problema do cálculo da quantidade de funções f : A → B, onde A e B são conjuntos finitos com n e k elementos respectivamente. Quando n ≤ k, também é comum encontrarmos o problema correspondente ao cálculo da quantidade de funções injetivas que podem ser definidas de A em B. Também é fato quase que obrigatório encontrarmos nesses textos o problema do cálculo da quantidade de bijeções de A em B, quando n = k (é claro!). Pode parecer um pouco estranho que normalmente não seja tratado nos mesmos textos o problema de determinar a quantidade de funções sobrejetivas existentes entre dois conjuntos finitos A e B, no caso em que n ≥ k.

A explicação para a ausência desse problema nesses textos é que a resolução desse problema requer um pouco mais; O Princípio da inclusão e exclusão no caso geral (para uma quantidade m, finita, de conjuntos finitos) o que não é, em geral, tratado nesses textos. Nesse contexto, inicialmente apresentaremos uma maneira intuitiva de estabelecer a fórmula fechada para o cálculo da quantidade de funções sobrejetivas entre dois conjuntos finitos e em seguida demonstraremos a veracidade dessa fórmula fazendo o uso do princípio da inclusão e exclusão. De posse da fórmula, ao final apresentaremos algumas aplicações envolvendo tal resultado.

---