É Matemática, Oxente! Número 15

Sumário

      1. Artigo – O Teorema de Pitágoras e algumas de suas generalizações

      2. Soluções de Olimpíadas – OPEMAT – 2019/Nível 3

      3. Curiosidades – Números Perfeitos

      4. Indicações de Leituras/Filmes – René Descartes

      5. Quem pergunta, quer saber!

      6. Eventos

      7. Problemas

      8. Soluções dos Problemas

Introdução do artigo

O pensamento matemático geralmente é construído por ideias simples que gradativamente vão se tornando mais complexas. Por exemplo, os teoremas, proposições matemáticas passíveis de demonstrações, podem ter versões diferentes em que uma apresenta resultados mais gerais que outra, às vezes, em mais de um aspecto. Por exemplo, podemos ter um teorema e uma generalização que partilham a mesma hipótese mas a última apresenta uma tese mais geral; ou que ambos tenham a mesma tese, no entanto, a hipótese do teorema seja mais simples; ou ainda que a hipótese e a tese da generalização sejam mais amplas. Percebemos, assim, que as ideias e descobertas matemáticas surgem de fatos relativamente simples e concretos que podem se tornar gradativamente mais abstratos e gerar resultados e indagações mais gerais.

Teoremas que ilustram este fato são o Teorema de Pitágoras e a Generalização de Polya, cujos enunciados compartilham a mesma hipótese, porque são válidos para triângulos retângulos e diferem na tese, pois o Teorema de Pitágoras garante que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa, enquanto, na Generalização de Polya, esse resultado é válido para quaisquer figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo. Logo, o Teorema de Pitágoras é um caso particular da Generalização de Polya.

Vale ressaltar que um mesmo teorema pode possuir diversas generalizações diferentes. O Teorema de Pitágoras, por exemplo, possui várias generalizações. Além da Generalização de Polya, podemos citar a Lei dos Cossenos.

Neste artigo iremos demonstrar o Teorema de Pitágoras e em seguida, mostrar essas suas duas generalizações e algumas de suas aplicações, inclusive em questões de Olimpíadas de Matemática.

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